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考研高数:特殊的高价微分方程

更新时间:2022-08-15来源:升研教育

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特殊的高价微分方程

一、可降阶的高阶微分方程

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二、线性微分方程解的性质与结构

二阶齐次线性方程

y"+ p(x)y' +q(x)y= 0(1)

二阶非齐次线性方程

y"+ p(x)y' +q(x)y= f(x)(2)

1、若y1(x),y2(x) 为二阶齐次线性方程的两个特解,则它们的线性组合C1y2(x)+C2y2(x) ( C1C2为任意常数)仍为同方程的解,特别地,当y(x)≠λy2(x) (λ为常数),也即y1(x)与y2(x)线性无关时,则方程的通解为y=C1y1(x)+ C2y2(x)。

2、若y(x)为二阶非齐次线性方程的一个特解,而C1y1(x)+ C2y2(x)为对应的二阶齐次线性方程的通解( C1C2为独立的任意常数)则y= y(x)+ C1y1(x)+ C2y2(x)是此二阶非齐次线性方程的通解。

3、设y1(x)与y2(x)分别是y"+ p(x)y' +q(x)y= f1(x)与y"+ p(x)y' +q(x)y= f2(x)的特解,则y1(x)+ y2(x)是y"+ p(x)y' +q(x)y= f1(x)+ f2(x)的特解


三、二阶常系数齐次线性方程

y"+ py'+qy=0,p,q 为常数

特征方程

λ2+ pλ+q=0

特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式

(1) 当Δ= p2 -4q> 0,特征方程有两个不同的实根λ12

则方程的通解为

y= C1eλ1x+C2eλ2x

(2)当Δ=p2-4q=0,特征方程有而重根λ1= λ2

则方程的通解为

y=(C1+C2x)eλ1x

(3)当Δ=p2-4q < 0,特征方程有共轭复根α±iβ,

则方程的通解为

y=eax(C1 cos βx + C2 sin βx)

四、二阶常系数非齐次线性方程

方程y"+ py'+qy= f(x),其中p,q为常数

通解

y=y+ C1y1(x)+ C2y2(x)

我们根据f(x)的形式,先确定特解y的形式,其中包含一些待定的系数,然后代入方程确定这些系数就得到特解y ,常见的f(x)的形式和相对应地y的形式如下:

1、f(x)= pn(x), 其中pn(x)为n 次多项式

(1)若0不是特征根,则令y=R(x)=a0x" +a1xn-1+...+an-1 x+a,其中ai(i = 0,2,...,n)为待定系数。

(2)若0是特征方程的单根,则令y= xRn(x)

(3)若0是特征方程的重根,则令y=x2 Rn(x)

2、f(x)= pn(x)eax其中pn(x)为n次多项式,a为实常数

(1) 若a不是特征根,则令y= Rn(x)eax

(2)若a是特征方程单根,则令y= xRn(x)eax

(3)若a是特征方程的重根,则令y=x3 R,(x)eax

3、f(x)= pn(x)eax sin βx或f(x)= p,(x)eax cos βx

其中pn (x)为n次多项式,a,β 皆为实常数

(1)若a±iβ不是特征根,则令y=eax[Rn(x)cos βx + Tn(x)sin βx]

其中Rn(x)=a0xn +a1xn-1+...+an-1 x+an

ai(i= 0,..n)为待定系数

Tn(x)=b0xn+b1xn-1+...+bn-1x+bn

bi(i= 0,..n)为待定系数

(2)若a±iβ是特征根,则令y= xeax[Rn(x)cosβx+ Tn(x)sinβx]

五、欧拉方程

(xny(n))+ p1xn-1y(n-1))+...+ Pn-1xy'+pny=0,其中pi(i= 1,2,.,n)为常数称为n阶欧拉方程,令x=et代入方程,变为t是自变量,y是未知函数的微分方程一定是常系数齐次线性微分方程


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