升研教育考研频道为23考研、24考研的同学们整理了“考研高数：一元函数导数与微分”的相关信息，希望对正在备考的你有所帮助。考研复习效率不高怎么办？自己备考抓不住重点？想报考985/211等热门院校，但是没把握？升研教育推出考研集训营，全日制封闭式面授，10余年授课经验的老师，浓厚的学习氛围助你冲击目标、一战上研！

一元函数导数与微分

一、导数与微分概念

1、导数的定义

设函数y= f(x)在点x₀的某领域内有定义，自变量x在x₀处有增量Δx，相应地函数增量Δy= f(x₀ +Δx)- f(x₀)。如果极限

存在，则称此极限值为函数f(x)在x₀处的导数(也称微商)，记作f^·(x₀),或等，并称函数y= f(x)在点x₀处可导。如果上面的极限不存在，则称函数y= f(x)在点x₀处不可导。

导数定义的另一等价形式，令x=x₀+Δx,Δx=x-x₀，则

我们也引进单侧导数概念

则有

f(x)在点x₀处可导<=>f(x)在点x₀处左、右导数皆存在且相等。

2、导数的几何意义与物理意义

如果函数y= f(x)在点x₀处导数f"(x₀)存在，则在几何上f`(x₀)表示曲线y= f(x)在点(x₀, f(x₀))处的切线的斜率。

切线方程: y-f(x₀)=f"(x)(x-x₀) 

法线方程：

设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为S= f(t),如果f"(t₀)存在，则f"(t₀)表示物体在时刻t₀时的瞬时速度。

3、函数的可导性与连续性之间的关系.

如果函数y= f(x)在点x₀处可导，则f(x)在点x₀处元定连续，反之不然，即函数y= f(x)在点x₀处连续，却不一定在点x₀处可导。例如，y= f(x)=∣x∣,在x₀=0处连续，却不可导。

4、微分的定义

设函数y= f(x)在点x₀处有增量Δx时，如果函数的增量Δy= f(x₀+Δx)- f(x₀)有下面的表达式

Δy= A(x₀)Δx + o(Δx)  (Δx→0)

其中A(x₀)为Δx为无关，o(Δx)是Δx→0时比Δr高阶的无穷小，则称f(x)在x₀处可微，并把Δy中的主要线性部分A(x₀ )Δx称为f(x)在xo处的微分，记以dy|_x=x0或df(x)|_x=0 我们定义自变量的微分dx就是Δx。

5\微分的几何意义

Δy= f(x₀ +Δx)- f(xo)是曲线y= f(x)在点x₀处相应于自变量增量Δx的纵坐标f(x₀)的增量，微分dy|_x=x0是曲线y= f(x)在点M。(x₀,f(x₀))处切线的纵坐标相应的增量(见图)。

6\可微与可导的关系

f(x)在x₀处可微<=>f(x)在x₀处可导。

且dy∣_x=xo= A(x₀)Δx= f"(x₀)dx ，一般地， y= f(x)则dy=f"(x)dx ，所以导数f'(x)=dy/dx也称为微商，就是微分之商的含义。

7、高阶导数的概念

如果函数y= f(x)的导数y'= f"(x)在点x₀处仍是可导的，则把y'= f'(x) 在点x₀处的导数称为y=f(x)在点x₀处的二阶导数，记以等，也称f(x)在点x₀处二阶可导。

如果y= f(x)的n- 1阶导数的导数存在，称为y= f(x)的n阶导数，记以y^（n）,等，这时也称y= f(x)是n阶可导。

二、典型例题

1、用导数定义求导数

2、分段函数在分段点处的可导性

设函数

3、运用各种运算法则求导数或微分

4、求切线方程和法线方程

5、高阶导数