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不定积分

一、基本概念与性质

1、原函数与不定积分的概念

设函数f(x)和F(x)在区间I上有定义，若F'(x)= f(x)在区间I上成立。则称F(x)为f(x)在区间I的原函数，f(x)在区间 I中的全体原函数成为f(x)在区间I的不定积分，记为∫f(x)dx。

其中∫称为积分号， x称为积分变量，f(x)称为 被积函数，f(x)dx 称为被积表达式。

2、不定积分的性质

3、原函数的存在性

设f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数，例如：

等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。

二、换元积分法和分部积分法

1、第一换元积分法(凑微分法)

设

2、第二换元积分法

3、分部积分法

(1) P_n(x)e^ax, P_n(x)sinax, P_n(x)cosax情形，P_n (x)为n次多项式，a为常数。要进行n次分部积分法，每次均取e^ax，sinax， cosax为v"(x);多项式部分为u (x)。

(2) P_n(x)㏑x, P_n(x)arcsinx, P_n(x)arcanx情形，P_n(x)为n次多项式取P_n(x)为v(x),而Inx, arcsinx, arctanx 为u (x)，用分部积分法一次，被积函数的形式发生变化，再考虑其它方法。