升研教育考研频道为23考研、24考研的同学们整理了“考研高数：导数的应用”的相关信息，希望对正在备考的你有所帮助。考研复习效率不高怎么办？自己备考抓不住重点？想报考985/211等热门院校，但是没把握？升研教育推出考研集训营，全日制封闭式面授，10余年授课经验的老师，浓厚的学习氛围助你冲击目标、一战上研！

导数的应用

一、判断函数的单调性

二、函数的极值

1、定义设函数f(x)在(a,b)内有定义， x₀是(a,b)内的某一点，则：

如果点x₀存在一个邻域，使得对此邻城内的任一点x(x≠x₀), 总有f(x)< f(x₀),则称f(x₀)为函数f(x)的一个极大值，称x₀为函数f(x)的一个极大值点:

如果点x₀存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点x(x≠x₀)， 总有f(x)> f(x₀), 则称f(x₀)为函数f(x)的一个极小值， 称x₀为函数f(x)的一个极小值点。

函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值点统称极值点。

2、必要条件(可导情形)

设函数f(x)在x₀处可导，且x₀ 为f(x)的一个极值点，则f'(x₀)=0，我们称满足f'(x_o)=0的x₀为f(x)的驻点，可导函数的极值点一定是驻点， 反之不然。

极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。

3、第一充分条件

设f(x)在x₀处连续，在0<|x-x₀|<δ内可导， f"(x₀)不存在， 或f`(x₀)=0

（1）如果在(x₀ -δ,x₀)内的任元点x处，有f"(x)>0,而在(x₀,x₀ +δ)内的任一点x处，有f"(x)<0,则f(x)为极大值，x₀为极大值点:

（2）如果在(x₀ -δ,x_o)内的任一点x处，有f'(x)<0,而在(x_o,x_o +δ)内的任一点x₀处，有f'(x)>0，则f(x)为极小值，x₀为极小值点:

（3）如果在(x₀-δ,x₀)内与(x₀,x₀+δ)内的任一点x处，f'(x)的符号相同， 那么f(x₀)不是极值，x₀不是极值点

4、第二充分条件

设函数f(x)在x₀处有二阶导数，且f(x₀)=0，f"(x₀)≠0，则

当f"(x₀)<0， f(x₀)为极大值，x₀为极大值点

当f"(x₀)>0，f(x₀)为极小值，x₀为极小值点

三、函数的最大值和最小值

1、求函数f(x)在[a, b]上的最大值和最小值的方法。

首先，求出f(x)在(a, b)内所有驻点，和不可导点x₁...x_k

其次,计算f(x₁),.. f(x_k), f(a), f(b)

最后，比较f(x₁),... f(x_k), f(a), f(b)，其中最大者就是f(x)在[a,b]上的最大值M ;

其中最小者就是f(x)在[a, b]上的最小值m。

2.最大(小)值的应用问题

首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间,然后再求出目标函数在区间内的最大(小)值。

四、凹凸性与拐点

1、凹凸的定义

设f(x₀)在区间I上连续，若对任意不同的两点x₁，x₂，恒有则称f(x)在I上是凸（凹）的。

2、曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。

五、渐近线及其求法

六、函数作图

七、曲率