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中国科学院大学 2020 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题：物理专业综合

考生须知：

 1．本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。

 2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效.

一、量子力学部分（共 60 分）

 1、（30 分）考虑一维束缚态： 

（1）证明（ψ（x,t）│ψ（x,t））不随时间变化，此处波函数 ψ不必是定态；

（2）证明对于定态，动量的期望值为零；

（3）证明如果粒子在 t =0 时刻处于定态，则在以后时刻永远保持定态。

2、（30 分）考虑谐振子问题： 

（1）一维谐振子的哈密顿量为证明由不确定性关系得到的能量 最小值与该谐振子的基态能量一致；

（2）若（1）中的基态波函数是高斯型e^-βx2，用变分法求β ； 

（3）利用升、降算符写出(1)中的第一激发态的波函数（不必归一）； 

（4）对于三维各向同性谐振子，第一激发态是三重简并的。现有一微扰 写出该微扰引起的第一激发态的能级分裂。

1、（30 分）如图

一电量为 q 的点电荷位于无限大接地理想导体平面上方，它 沿 z 轴在平衡位置z₀=a 处做简谐振荡，振幅为 l，频率为ω且

（1）写出整个系统的电偶极矩、磁偶极矩、电四极矩随 时间变化的表达式； 

（2）求在球坐标系中远处（ r >>a ，z>0）的电偶极、 磁偶极、电四极辐射的电场和磁场； 

（3）写出导体面内远离原点的 r 处的总电场和总磁场，它们满足理想导体界面上的边值关系吗？

2、（30 分）静止质量为 2m 和 9m 的两质点分别以速率 0.6c 和 0.8c 沿直线相向运 动（c 为光速），碰撞后结合成一复合质点，求： 

（1）碰撞前两质点的能量和动量； 

（2）碰撞后复合质点的静止质量和速度。

三、热力学与统计物理部分（共 30 分） 

 1、（30 分）一个可逆的卡诺热机运行在两个温度分别为 T₁ 和 T₂ 的热源之间，其 中 T₂ >T₁。假设低温热源热容极大，在热机运行过程中保持恒温 T₁。高温热源由 一定量的恒定体积的理想气体组成，其热容 C_v为常数。当热机运行一段时间后， 原高温热源的温度将从 T₂ 降低到 T₁。求该过程中： 

（1）高温热源的熵变 ΔS； 

（2）热机所做的功； 

（3）整个系统的熵变